Описание функционирования системы в пространстве состояний автомобиля

Описание дискретных систем в пространстве состояний

Современная теория дискретных систем, так же как и непрерывных, базируется на описании их в пространстве состояний [9].

Рассмотрим дискретную систему m-го порядка с одним входом u[n] и одним выходом y[n], передаточная функция которой в общем виде может быть записана следующим образом

(1.122)

Аналогично непрерывным системам составляющие вектора переменных состояний x_i[n] рассматривают как оси координат многомерного пространства состояния системы. С течением времени вектор состояния изменяет свое значение и положение, его конец описывает в пространстве состояния некоторую кривую, называемую траекторией движения системы.

Матрица системы A определяет устойчивость и другие показатели качества работы системы, матрица управления B характеризует влияние на переменные состояния входного воздействия, а матрица наблюдения C устанавливает связь выходной величины системы с вектором переменных состояния. Выбор переменных состояния в дискретных системах, как и в непрерывных, является неоднозначной операцией, т.е. векторное разностное уравнение зависит от выбранных переменных состояния. Однако все возможные векторные уравнения эквивалентны, так как описывают один и тот же динамический процесс связи выходной переменной системы с входным воздействием.

В общем случае дискретная система имеет k входов и r выходов. При этом вид векторных уравнений остается таким же (1.126), в которых матрица системы A имеет тот же вид, что и в системах с одним входом и одним выходом, матрица управления становится прямоугольной размером m´k, а матрица наблюдения имеет размер r´m.

Дискретная матрица переходов устанавливает связь между значениями вектора переменных состояния в различные отсчеты времени и для стационарных систем определяется как [9]

Таким образом, решение векторного разностного уравнения имеет вид

(1.128)

Пример. Найти описание в пространстве состояний системы, дискретная передаточная функция разомкнутой цепи которой имеет вид

,

которой соответствует разностное уравнение

На основании выражений (1.125) и (1.126) получаем

С = [1 0]; D = [0].

Уравнения системы в пространстве состояний

Найдем полюса (z₁ = 0.5; z₂ = 0.25) дискретной передаточной функции системы и разложим ее на простейшие дроби

Структурная схема системы представлена на рис. 1.24,б.

а)

Рис. 1.24. Структурная схема дискретной системы второго порядка:

Выбрав в качестве переменных состояния выходные величины звеньев задержки, получим следующую систему уравнений:

С_n = [1 1]; D_n = [0].

В отличие от рассмотренного ранее описания переменные в разностных уравнениях развязаны между собой. Такая запись называется нормальной формой описания дискретной системы в пространстве состояний.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 1

1. Сформулируйте определение дискретных систем. Какова структура и классификация импульсных систем?

2. Расскажите о математическом аппарате исследования импульсных систем.

3. Сформулируйте теорему Котельникова-Шеннона. Поясните ее физический смысл и практическое значение при проектировании дискретных систем.

4. Поясните методы определения передаточных функций импульсных систем. Каковы особенности передаточных функций статических и астатических систем?

5. Каким образом определяются частотные характеристики импульсных систем?

6. Какими способами определяются переходные процессы в дискретных системах?

7. Сформулируйте условия устойчивости импульсных систем.

8. Каким образом оценивается точность работы импульсных систем?

9. Каков порядок синтеза цифровых систем? Перечислите методы определения передаточных функций корректирующих устройств. Укажите виды структурных схем цифровых фильтров.

10.Запишите стандартную форму уравнений в пространстве состояний. Поясните физический смысл уравнений.

Источник

Характеристики систем в пространстве состояний

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел l_i матрицы А

После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.

Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14].

Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

и матрицы наблюдаемости

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K 0.

, det K=1-1=0, следовательно, система неуправляема.

, det L=1-1=0, следовательно, система ненаблюдаема.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Пространство состояний в задачах проектирования систем оптимального управления

Введение

Исследование системы управления во временной области с помощью переменных состояния широко используется в последнее время благодаря простоте проведения анализа.

Состоянию системы соответствует точка в определённом евклидовом пространстве, а поведение системы во времени характеризуется траекторией, описываемой этой точкой.

При этом математический аппарат включает готовые решения по аналоговому и дискретному LQR и DLQR контролерам, фильтра Калмана, и всё это с применением матриц и векторов, что и позволяет записывать уравнения системы управления в обобщённом виде, получая дополнительную информацию при их решении.

Целью данной публикации является рассмотрение решения задач проектирования систем оптимального управления методом описания пространства состояний с использованием программных средств Python.

Теория кратко

Векторно-матричная запись модели линейного динамического объекта с учетом уравнения измерения принимает вид:

(1)

Если матрицы A(t), B(t) и C(t) не зависят от времени, то объект называется объектом с постоянными коэффициентами, или стационарным объектом. В противном случае объект будет нестационарным.

При наличии погрешностей при измерении, выходные (регулируемые) сигналы задаются линеаризованным матричным уравнением:

(2)

где y(t) – вектор регулируемых (измеряемых) величин; C(t) – матрица связи вектора измерений с вектором состояний; v(t) – вектор ошибок измерений (помехи).

Структура линейной непрерывной системы, реализующая уравнения (1) и (2), приведена на рисунке:

Данная структура соответствует математической модели объекта, построенной в пространстве состояний его входных x(t), u(t), выходных y(t) и внутренних, или фазовых координат x(t).

Для примера рассмотрим математическую модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением от постоянных магнитов. Система уравнений электрической и механической частей двигателя для рассматриваемого случая будет выглядеть так:

(3)

Первое уравнение отражает взаимосвязь между переменными в цепи якоря, второе — условия механического равновесия. В качестве обобщенных координат выберем ток якоря I и частоту вращения якоря ω.

Управлением являются напряжение на якоре U, возмущением — момент сопротивления нагрузки Mc. Параметрами модели являются активное сопротивление и индуктивность цепи и якоря, обозначенные соответственно Rя, и Lя, а также приведенный момент инерции J и конструктивные постоянные се и см (в системе СИ: Cе=См).

Разрешая исходную систему относительно первых производных, получим уравнения двигателя в пространстве состояний.

(4)

В матричном виде уравнения (4) примут вид (1):

(5)

где вектор обобщенных координат , вектор управлений U =u (в рассматриваемом случае он является скаляром), вектор (скаляр) возмущений Mc=f. Матрицы модели:

(6)

Если в качестве регулируемой величины выбрать частоту вращения, то уравнение измерения запишется в виде:

(7)

а матрица измерений примет вид:

Сформируем модель двигателя в Python. Для этого вначале зададим конкретные значения параметров двигателя: U = 110 В; R =0,2 Ом; L = 0,006 Гн; J =0,1 кг/м2;Ce =Cm=1,3 В/С и найдем значения коэффициентом матриц объекта из (6).

Разработка программы формирующей модель двигателя с проверкой матриц на наблюдаемость и управляемость:

При разработке программы использовалась специальная функция def matrix_rank для определения ранга матрицы и функции, приведенные в таблице:

Результаты работы программы:

1. На примере двигателя постоянного тока с независимым магнитным возбуждением рассмотрена методика проектирования управления в пространстве состояний;

2. В результате работы программы получены передаточная функция, переходная характеристика, а так же ранги матриц управляемости и наблюдаемости. Ранги совпадают с размерностями пространства состояний, что подтверждает управляемость и наблюдаемость модели.

Пример проектирования оптимальной системы управления с дискретным dlqr контролером и полной обратной связью

Определения и терминология

Линейно-квадратичный регулятор (англ. Linear quadratic regulator, LQR) — в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества.

Задача, в которой система описывается линейными дифференциальными уравнениями, а показатель качества, представляет собой квадратичный функционал, называется задачей линейно-квадратичного управления.

Широкое распространение получили линейно-квадратичные регуляторы (LQR) и линейно-квадратичные гауссовы регуляторы (LQG).

Приступая к практическому решению задачи всегда нужно помнить об ограничениях

Для синтеза оптимального дискретного регулятора линейных стационарных систем нужна функция численного решения уравнения Беллмана.Такой функции в библиотеке Python Control Systems [1] нет, но можно воспользоваться функцией для решения уравнения Риккати, приведенной в публикации [2]:

Но нужно ещё учесть ограничения на синтез оптимального регулятора, приведенные в [3]:

Структурная схема регулятора системы управления с обратной связью по всем переменным состояния изображена на рисунке:

Для каждого начального состояния x0 оптимальный линейный регулятор порождает оптимальное программное управление u*(x, k) и оптимальную траекторию х*(k).

Программа, формирующая модель оптимального управления с dlqr контролером

Динамика состояний и управлений: x1, x2, u1, u2.

Вывод

Отдельные задачи оптимального управления по типу приведенных можно решать средствами Python, комбинируя возможности библиотек Python Control Systems, SciPy,NumPy, что, безусловно, способствует популяризации Python, учитывая, что ранее такие задачи можно было решать только в платных математических пакетах.

Источник

Описание систем в пространстве состояний

Развитие высококачественных систем управления потребовало разработки новых методов их анализа и синтеза.

Современная теория управления, основу которой заложили известные работы Л.С.Понтрягина, Р.Беллмана и Р.Калмана, базируется на описании систем в пространстве состояний. Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

Понятие состояния является определяющим в современной теории управления.

Рис. 10.1. Модель системы

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой

, (10.1)

, , ;

Система уравнений (10.1) является стандартным описанием систем управления в пространстве состояний.

Уравнения (10.1) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t₀ £ t £ T.

Первое уравнение из (10.1) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши)

Второе уравнение из (10.1) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений

В стандартной форме описания (10.1)

— матрица системы;

— матрица управления;

— матрица наблюдения;

— матрица связи.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.

Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет систему управления.

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением.

На рис.10.2 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция.

Значение начального состояния X(t₀) и входного воздействия U(t) достаточны для того, чтобы однозначно и единственным образом найти выходную величину Y(t) на интервале времени t₀ £ t £ T, т.е. определить значения Y(t) в текущий момент и предсказать поведение ее в будущем.

Таким образом, стандартное описание систем управления в пространстве состояний позволяет однозначно определить выходную величину системы по известному внешнему воздействию и начальному состоянию системы.

Рис. 10.2. Структурная схема системы в векторной форме:

Уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют выработать подход для решения различных классов задач теории управления с единых позиций.

Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых задается выражением (6.31) (см. Раздел 6). Получение уравнений, описывающих скалярную систему в общем виде, изложено в разделе 6.7. Для перехода к описанию в пространстве состояний переменные x_i в системе уравнений (6.35) и (6.36) можно рассматривать как составляющие вектора состояния X, а задающее воздействие g принять за внешнее u. В этом случае система уравнений (6.35) и (6.36) соответствует стандартной форме описания систем управления в пространстве состояний (10.1). При этом матрицы А, B, C, D имеют следующий вид:

— матрица системы, (10.4)

имеющая такую структуру называется сопровождающей или матрицей Фробениуса;

— матрица управления; (10.5)

— матрица наблюдения; (10.6)

— матрица связи. (10.7)

В реальных системах управления степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому b_o=0 и ряд коэффициентов b_i оказывается равным нулю. Единица в первом элементе матрицы C соответствует тому, какая из переменных x₁,x₂. x_n, попадает на выход. В данном случае с выхода системы снимается одна переменная x₁.

Источник

Описание системы «автомобиль»

Функциональные, морфологические и информационные описания систем. Анализ системоразрушающих и системообразующих факторов, влияющих на машину. Характеристика иерархической структуры автомобиля. Особенность обеспечения комфортного и быстрого передвижения.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Агентство по образованию РФ

Волгоградский государственный технический Университет

по системному анализу

на тему: «Описание системы «автомобиль»

1. Основные методы описания систем

Существует несколько различных методов описания систем. Каждый из них дает возможность выявить свои особенности описываемой системы. Поэтому в зависимости от целей и задач, которые ставит перед собой человек, строящий ту или иную модель, выбирается и наиболее подходящий метод. Иногда полезно описывать одну и ту же систему несколькими методами, чтобы дать полную картину её устройства и функционирования. Рассмотрим основные методы описания систем.

Функциональное описание исходит из того, что всякая система выполняет определенные функции: она может просто существовать, служить областью обитания другой системы, наконец, быть материалом для создания других систем; таких различных функций может быть очень много. Система может быть как однофункциональной, то есть выполнять какую-то определенную функцию, так и многофункциональной. В зависимости от характера взаимодействия систем между собой их функции можно разделить по возрастающим рангам: пассивное существование, материал для других систем, обслуживание систем более высокого уровня, противостояние другим системам и среде, поглощение других систем и среды, преобразование других систем и среды.

Обычно функции системы имеют иерархическую структуру, то есть значение функции каждого уровня является числовым функционалом от функции более низких уровней. Обычно функции системы нормально выполняются при каких-то ограничениях входных параметров, если эти параметры выходят за установленные рамки, то система либо разрушается, либо кардинально изменяет свое устройство. В общем, функциональное описание заключается в выделении иерархии функций системы и определении входных и выходных параметров данных функций. Если это возможно, функции заменяют какими-либо математическими, вероятностными или другими выражениями, что позволяет численно следить за функционированием системы. Непосредственно функциональное описание системы S задается следующей семеркой:

Давайте теперь перейдем непосредственно к составлению морфологического описания:

Здесь структуры д бывают: детерминированные, вероятностные, хаотические. Композиция K может быть слабой, с эффекторными подсистемами, с рецепторными подсистемами, с рефлексивными подсистемами, полной и неопределенной.

2. В математике и кибернетике этот термин является количественной мерой энтропии.

Первое, а также некоторые другие, не приведенные определения, определяют информацию как какие-либо данные или сведения, отражающие какие-либо процессы. Такая информация называется отображаемой и обозначается I0.

Перейдем ко второму определению. Энтропия системы есть мера ее неопределенности, то есть чем больше предсказуемы последующие состояния системы, тем меньше у нее энтропия. Количественно энтропию можно найти по формуле:

Информационное описание определяет зависимость морфологических и функциональных свойств системы от качества и количества внутренней (информации о самой системе и о внешней среде) и внешней (информации, поступающей из внешней среды).

Совокупность функционального, морфологического и информационного описания позволяет отразить главные свойства систем.

2. Обоснование выбора функционального описания системы

После выбора системы, мы стали выбирать метод ее описания. Сразу было трудно решить, какой из них лучше использовать, и мы решили рассмотреть их все и выделить один методом исключения.

Первым мы исключили информационный метод описания. Почему? Потому что система «автомобиль» не является средством восприятия или обработки информации и представляет собой достаточно устойчивую систему. В информационном описании много цифр, переменных и формул, что очень сильно затрудняет возможность понятия и осмысления такой работы. системообразующий автомобиль комфортный передвижение

Остается выбрать из морфологического и функционального описания. Мы сделали выбор в сторону функционального. На это нас толкнуло несколько причин:

2. Функциональное описание более емко, чем морфологическое, ведь при описании той или иной функции, делается указание на то, от каких параметров зависит ее выполнение. И мы сразу получаем функциональное описание и список элементов «в одном флаконе». К тому же можно легко добавить к функциональному описанию иерархическую структуру системы, и, фактически мы потеряем из морфологического описания лишь характеристики связей между элементами (которые можно определить по их функциям).

3. Функциональное описание больше подходит для сравнения двух систем, так как морфологическое сходство отнюдь не означает функционального, вследствие того, что незначительное морфологическое отклонение может вызвать качественное функциональное различие. В ряде случаев морфологическое различие обнаружить невозможно, и проявляется оно в существенном различии функциональных свойств.

3. Функциональное описание системы

Общая характеристика системы.

Все важнейшие узлы системы( двигатель, каркас автомобиля, подвеска) выполнены из железа.

1. Механическое воздействие (разрушает систему в результате непрочности материала);

2. Излишний перегрев (влияет на работу двигателя и других подсистем)

3. Воздействие химических растворителей(влияют на тормозную систему(тормозная жидкость), двигатель, в частности на систему охлаждения(тосол, антифриз)

4. Избыточная влажность среды (образует ржавчину практически на всех элементах системы )

5. Излишне низкая температура (при низкой температуре двигатель начинает потреблять больше расходного материала, из-за этого уменьшается КПД, под воздействием низкой температуры металл становится более хрупким, что вызывает механические повреждения элементов системы)

1. Рабочая температура (приблизительно 90С, при оптимальной температуре КПД будет максимальным);

2. Наличие смазки в двигателе, в тормозной системе, в подвеске и в других малых подсистемах;

3. Наличие достаточного количества тормозной жидкости, охлаждающей жидкости, топливной жидкости и кислорода;

4. Наличие достаточного заряда батареи;

5. Прочность крепления несущих частей автомобиля.

Иерархическая структура системы

несущая система решетка радиатора

правое (левое) переднее крыло

правая (левая) передняя дверь

стойка ветрового стекла

правя (левая) задняя дверь

правая (левая) боковина

опора пружины задней подвески

ниша запасного колеса

опора пружины передней подвески

кронштейн для буксировки

передний (задний) бампер

движущая система двигатель шкив привода генератора

зубчатый шкив насоса охлаждающей жидкости

шкив распределительного вала

сальник переднего вала

корпус вспомогательных агрегатов

система питания форсунки

система охлаждения радиатор отопителя

Источник